【超几何分布公式】超几何分布是概率论中一种重要的离散概率分布,常用于在不放回抽样的情况下计算成功事件发生的概率。与二项分布不同,超几何分布适用于总体有限且抽样时不放回的情况,因此更适用于实际生活中的抽样调查、质量检验等场景。
一、基本概念
超几何分布描述的是:从一个有限的总体中抽取样本时,已知总体中有一定数量的成功项和失败项,从中随机抽取若干样本,其中恰好有k个成功项的概率。
设总体中有N个个体,其中有K个“成功”个体,其余为“失败”个体。从总体中抽取n个个体(不放回),则这n个个体中有k个“成功”的概率服从超几何分布。
二、超几何分布公式
超几何分布的概率质量函数(PMF)如下:
$$
P(X = k) = \frac{{\dbinom{K}{k} \dbinom{N - K}{n - k}}}{{\dbinom{N}{n}}}
$$
其中:
- $ N $:总体数量
- $ K $:总体中成功项的数量
- $ n $:抽取的样本数量
- $ k $:抽取样本中成功项的数量
- $ \dbinom{a}{b} $:组合数,表示从a个元素中选出b个的方式数
三、关键参数说明
参数 | 含义 | 说明 |
$ N $ | 总体数量 | 总体中所有个体的总数 |
$ K $ | 成功项数量 | 总体中具有某种特征的个体数量 |
$ n $ | 抽取样本数量 | 从总体中抽取的样本数量 |
$ k $ | 成功样本数 | 在抽取的样本中,具有该特征的个体数量 |
$ P(X = k) $ | 概率 | 在抽取n个样本中恰好有k个成功项的概率 |
四、典型应用场景
场景 | 说明 |
质量检测 | 从一批产品中抽取部分进行检测,计算合格品数量的概率 |
抽奖活动 | 在有限的奖品中抽取若干,计算中奖人数的概率 |
社会调查 | 从人群中抽取样本,分析某类人群的比例 |
简单随机抽样 | 不放回地从有限总体中抽取样本,研究其分布特性 |
五、示例计算
假设有一个盒子中有10个球,其中3个是红球(成功项),7个是蓝球(失败项)。从中不放回地抽取4个球,求恰好抽到2个红球的概率。
根据公式:
$$
P(X = 2) = \frac{{\dbinom{3}{2} \dbinom{7}{2}}}{{\dbinom{10}{4}}}
= \frac{3 \times 21}{210} = \frac{63}{210} = 0.3
$$
即抽到2个红球的概率为30%。
六、总结
超几何分布是一种适用于有限总体、不放回抽样的概率模型,广泛应用于统计学、质量控制和实际调查中。掌握其公式和应用方法有助于更好地理解现实问题中的概率现象,并作出科学决策。