【超几何分布的期望推导】在概率论与统计学中，超几何分布是一种描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算某类元素被抽中的概率。本文将对超几何分布的期望进行推导，并以加表格的形式展示结果。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下场景：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个是“成功”个体（如合格品）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体，不放回；
- 设 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中“成功”的数量，则 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望公式推导
设随机变量 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $，其期望值为：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
推导过程简述：
1. 定义期望：
超几何分布的期望可以表示为：
$$
E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X = k)
$$
2. 利用对称性或线性性质：
可通过构造指示变量 $ X_i $ 来简化计算。令 $ X_i = 1 $ 表示第 $ i $ 次抽到成功个体，否则为 0。则：
$$
X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n
$$
所以：
$$
E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)
$$
3. 单个 $ E(X_i) $ 的计算：
第一次抽到成功的概率为 $ \frac{K}{N} $，由于不放回，后续每次抽到成功的概率略有变化，但整体上每个位置的期望为：
$$
E(X_i) = \frac{K}{N}
$$
4. 总期望：
因此：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
三、总结
超几何分布的期望值反映了在不放回抽样中，期望能抽到多少个“成功”个体。这个结果与二项分布的期望相似，但二项分布是基于有放回抽样的情况。
四、关键信息表格
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 超几何分布 |
| 参数 | $ N $（总体数），$ K $（成功数），$ n $（抽样数） |
| 随机变量 | $ X $：抽到的成功数 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} $ |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
| 适用场景 | 不放回抽样，有限总体 |
五、结语
超几何分布的期望推导展示了概率模型如何从基础原理出发得出简洁的结果。理解这一过程不仅有助于掌握统计知识，也为实际问题建模提供了理论依据。
