【标准正态分布的概率密度函数】标准正态分布是统计学中最常见、最重要的概率分布之一。它是一种对称的钟形曲线，具有均值为0、标准差为1的特性。其概率密度函数（PDF）描述了随机变量在不同取值处的概率密度大小。
标准正态分布的概率密度函数可以表示为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
其中，$ x $ 是实数，$ e $ 是自然对数的底，$ \pi $ 是圆周率。
一、标准正态分布的特点总结
| 特性 | 描述 |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 对称性 | 关于x=0对称 |
| 概率密度函数形状 | 钟形曲线，单峰 |
| 总面积 | 等于1，表示所有可能事件的概率之和 |
| 分布范围 | 覆盖从负无穷到正无穷的所有实数 |
| 应用场景 | 常用于假设检验、置信区间估计、数据标准化等 |
二、关键数值与性质说明
- 对称性：因为函数关于x=0对称，所以P(X ≤ -a) = P(X ≥ a)，这在计算概率时非常有用。
- 概率密度的含义：概率密度函数的值并不是概率本身，而是表示在某个点附近单位区间的概率密度大小。
- 累积分布函数（CDF）：虽然我们不直接讨论CDF，但它是概率密度函数的积分，常用于计算具体区间的概率。
- 标准化过程：任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布，公式为：$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $。
三、常用概率值参考表（标准正态分布）
| Z值 | 概率 P(Z ≤ z) |
| 0.0 | 0.5000 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 2.5 | 0.9938 |
| 3.0 | 0.9987 |
注：以上表格中的“Z值”是指标准正态分布中对应的随机变量值，“P(Z ≤ z)”表示该值以下的累计概率。
四、小结
标准正态分布的概率密度函数是统计学的基础工具之一，广泛应用于数据分析、科学研究和工程领域。它的数学形式简洁且具有良好的对称性和可计算性，使得它成为许多实际问题建模的理想选择。理解其基本性质和应用方式，有助于更有效地进行统计推断和数据分析。
