【等比数列的通项公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的数的集合。其中，等比数列是一种特殊的数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为“公比”。掌握等比数列的通项公式，有助于我们快速求出数列中的任意一项。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 公比（r）：等比数列中相邻两项的比值，记作 $ r $。
- 首项（a₁）：等比数列的第一个数，记作 $ a_1 $。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、通项公式的应用举例
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ r $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ |
| 1 | 2 | 3 | $ 2 \cdot 3^{0} = 2 $ |
| 2 | 2 | 3 | $ 2 \cdot 3^{1} = 6 $ |
| 3 | 2 | 3 | $ 2 \cdot 3^{2} = 18 $ |
| 4 | 2 | 3 | $ 2 \cdot 3^{3} = 54 $ |
| 5 | 2 | 3 | $ 2 \cdot 3^{4} = 162 $ |
通过这个表格可以看出，随着项数 $ n $ 的增加，等比数列的项以指数形式增长。
四、总结
- 等比数列的通项公式是 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $。
- 公比 $ r $ 决定了数列的增长或衰减趋势。
- 该公式可以用于求解等比数列中任意一项的值。
- 实际应用中，等比数列广泛应用于金融、生物学、物理学等领域。
通过理解并掌握等比数列的通项公式，我们能够更高效地分析和解决与等比数列相关的问题。
