【等比数列的两个求和公式】在数学中，等比数列是一个重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是固定的，这个比值称为公比。等比数列的求和公式是学习数列时必须掌握的基础内容之一。根据不同的情况，等比数列的求和公式可以分为两种形式：一种适用于有限项的求和，另一种适用于无限项的求和（当公比的绝对值小于1时）。以下是对这两个公式的总结。

一、有限项等比数列的求和公式

对于一个首项为 $ a $，公比为 $ r $，共有 $ n $ 项的等比数列，其前 $ n $ 项的和记作 $ S_n $，计算公式如下：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

如果 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时公式变为：

$$

S_n = a \cdot n

$$

二、无限等比数列的求和公式

当公比 $ r < 1 $ 时，等比数列的项会随着项数的增加而趋于零，此时可以求出其无限项的和，记作 $ S $，公式如下：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

这个公式只适用于公比的绝对值小于1的情况，否则数列不会收敛，无法求得有限的和。

三、公式对比表格

四、实际应用举例

- 例1：求首项为3，公比为2，共5项的等比数列的和。

解：$ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-31}{-1} = 93 $

- 例2：求首项为4，公比为0.5的无限等比数列的和。

解：$ S = \frac{4}{1 - 0.5} = \frac{4}{0.5} = 8 $

通过以上总结可以看出，等比数列的两个求和公式分别适用于不同的情况，理解它们的适用范围和使用方法，有助于更灵活地解决相关问题。