【数学期望常用公式】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。数学期望不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题中也具有重要的指导意义。本文将对常见的数学期望公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本定义
数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 在其所有可能取值上的加权平均。权重为各个取值发生的概率。
对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中 $ f(x) $ 是 $ X $ 的概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量函数或密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 两点分布（0-1分布） | $ P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p $ | $ p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 $ Ge(p) $ | $ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对于两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
四、应用举例
例如，设某次考试的及格率为 $ p = 0.7 $，那么一个考生是否及格可以看作是两点分布，其数学期望为 $ E(X) = 0.7 $，表示每次考试中平均有 70% 的人及格。
又如，假设某电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从泊松分布 $ P(3) $，则平均每分钟接到的呼叫次数为 3 次。
五、结语
数学期望是概率统计中的核心概念之一，掌握其公式和性质有助于更好地理解和分析随机现象。通过上述总结和表格，读者可以快速了解各类分布的期望表达式及其基本性质，从而在实际问题中灵活运用。
如需进一步了解协方差、方差等其他统计量，也可继续查阅相关资料。
