【等差数列通项公式】等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的差是一个定值，这个定值称为公差。掌握等差数列的通项公式，有助于我们快速求出数列中的任意一项，是学习数列的基础内容之一。
一、等差数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列叫做等差数列。
- 公差（d）：相邻两项的差，即 $ d = a_{n} - a_{n-1} $
- 首项（a₁）：数列的第一个数
- 第n项（aₙ）：数列中第n个位置上的数
二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第n项
- $ a_1 $ 是首项
- $ d $ 是公差
- $ n $ 是项数
这个公式可以帮助我们直接计算出数列中任意一项的值，而不需要逐项列出整个数列。
三、公式推导思路
1. 第1项：$ a_1 $
2. 第2项：$ a_1 + d $
3. 第3项：$ a_1 + 2d $
4. 第4项：$ a_1 + 3d $
5. …
6. 第n项：$ a_1 + (n - 1)d $
可以看出，每一项都是首项加上公差乘以项数减一。
四、应用举例
| 项数（n） | 首项（a₁） | 公差（d） | 第n项（aₙ） |
| 1 | 5 | 3 | 5 |
| 2 | 5 | 3 | 8 |
| 3 | 5 | 3 | 11 |
| 4 | 5 | 3 | 14 |
| 5 | 5 | 3 | 17 |
根据公式 $ a_n = 5 + (n - 1) \times 3 $，可以快速得出各项数值。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值的数列 |
| 公差（d） | 相邻两项之差 |
| 首项（a₁） | 数列的第一个数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 用途 | 快速求出数列中任意一项的值 |
通过掌握等差数列的通项公式，我们可以更高效地解决与数列相关的问题，尤其在实际应用中，如财务计算、几何序列分析等方面都有广泛的应用价值。
