在数学分析中，利用导数的定义来推导函数的导数是一种非常基础且重要的方法。本文将通过导数的定义，详细展示如何证明 $\cot x$ 的导数。

首先，我们回顾导数的定义。对于一个函数 $f(x)$，其在某一点 $x$ 处的导数定义为：

$$

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

$$

接下来，我们将此定义应用于函数 $f(x) = \cot x$。根据三角函数的定义，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$。因此，我们需要计算：

$$

\cot'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cot(x+h) - \cot(x)}{h}

$$

代入 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，得到：

$$

\cot'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h}

$$

为了简化表达式，我们需要通分。通分后分子变为：

$$

\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h)

$$

利用三角恒等式 $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$，可以将分子化简为：

$$

-\sin h

$$

因此，导数表达式变为：

$$

\cot'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h \cdot \sin(x+h) \cdot \sin x}

$$

注意到 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$，所以最终结果为：

$$

\cot'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}

$$

由此，我们完成了对 $\cot x$ 导数的证明。这一过程展示了导数定义的强大应用，同时也加深了对三角函数性质的理解。

希望这篇文章能够满足您的需求！如果有任何进一步的问题或修改建议，请随时告知。