在数学领域中，判别式是一个非常重要的概念，尤其是在解决二次方程或更高次多项式方程时。判别式的定义是基于方程系数的一个特定表达式，它能够帮助我们判断方程解的性质。当判别式小于零时，这通常意味着方程的解具有某些特殊的特征。

首先，让我们回顾一下二次方程的标准形式：\( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a, b, c \) 是常数且 \( a \neq 0 \)。对于这个方程，其判别式 \( \Delta \) 定义为：

\[

\Delta = b^2 - 4ac

\]

根据判别式的值，我们可以得出以下结论：

- 当 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实数根。

- 当 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根（即两个相同的实数根）。

- 当 \( \Delta < 0 \)，方程没有实数根，而是有一对共轭复数根。

因此，当判别式小于零时，这意味着方程的解不是实数，而是复数。具体来说，如果我们将方程的根表示为：

\[

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

\]

由于 \( \Delta < 0 \)，根中的平方根部分会涉及到负数的平方根，即 \( \sqrt{-|\Delta|} = i\sqrt{|\Delta|} \)，其中 \( i \) 是虚数单位。因此，方程的解可以写成：

\[

x = \frac{-b}{2a} \pm i\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}

\]

这种情况下，解是一对共轭复数。共轭复数的特点是它们的实部相同，而虚部互为相反数。例如，如果一个解是 \( p + qi \)，另一个解就是 \( p - qi \)，其中 \( p \) 和 \( q \) 是实数。

从几何角度来看，当判别式小于零时，二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像与 x 轴没有交点。这是因为二次函数的顶点位于 x 轴上方（如果 \( a > 0 \)）或下方（如果 \( a < 0 \)），并且抛物线始终位于 x 轴的一侧。

此外，在物理学和其他应用领域中，判别式小于零的情况也具有重要意义。例如，在振动系统中，判别式小于零可能表明系统的运动是振荡的，而不是单调变化的。这种振荡行为在自然界和工程实践中非常常见。

总之，判别式小于零说明方程的解是一对共轭复数，这意味着解不是实数，而是存在于复数平面上。这种特性在数学理论和实际应用中都具有深远的影响。通过理解和分析判别式的符号，我们可以更好地把握方程的性质及其背后的物理意义。