【数学期望公式是什么】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述一个随机变量在大量重复实验中所表现的平均结果。它可以帮助我们预测某个事件的长期平均收益或损失。数学期望在金融、工程、科学等多个领域都有广泛应用。
下面我们将从基本定义、计算公式以及常见分布的期望值三个方面进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，是指在所有可能结果中，每个结果乘以其对应的概率后求和的结果。它是对随机变量长期平均值的一种估计。
二、数学期望的计算公式
对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $ 是随机变量的第 $ i $ 个可能取值；
- $ P(x_i) $ 是该取值出现的概率；
- $ n $ 是所有可能取值的数量。
对于连续型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中：
- $ f(x) $ 是概率密度函数。
三、常见分布的数学期望
| 分布类型 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、总结
数学期望是一个重要的统计量，能够帮助我们理解随机变量的“中心趋势”。无论是离散还是连续型变量，数学期望都可以通过加权平均的方式进行计算。不同分布的期望值各有特点，了解这些有助于我们在实际问题中做出更合理的判断与决策。
如需进一步了解数学期望在实际生活或专业领域的应用，可以继续深入学习相关概率模型和统计方法。
