【高中数学 平面向量 公式大全】平面向量是高中数学的重要内容之一，它在几何、物理以及后续的立体几何和解析几何中都有广泛应用。掌握好平面向量的相关公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对高中数学中平面向量相关公式的系统总结。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向任意 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量 |
| 共线向量 | 方向相同或相反的向量 |
二、向量的表示与运算
| 运算类型 | 表示方式 | 公式说明 |
| 向量加法 | a + b | 三角形法则或平行四边形法则 |
| 向量减法 | a - b | 等于 a 加上 b 的相反向量 |
| 数乘向量 | λa | λ为实数，λ>0时方向相同，λ<0时方向相反 |
| 向量模长 | a | = √(a₁² + a₂²)（若a = (a₁, a₂)） | ||||
| 向量点积 | a · b | a · b = | a | b | cosθ（θ为两向量夹角） 或 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ | |
| 向量叉积 | a × b | 在二维中通常用标量形式表示：a × b = a₁b₂ - a₂b₁ | ||||
| 向量夹角 | cosθ = (a · b) / ( | a | b | ) |
三、向量的坐标表示
设向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：
| 运算 | 公式 | ||
| 向量加法 | a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) | ||
| 向量减法 | a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) | ||
| 数乘向量 | λa = (λx₁, λy₁) | ||
| 向量点积 | a · b = x₁x₂ + y₁y₂ | ||
| 向量模长 | a | = √(x₁² + y₁²) | |
| 向量夹角 | cosθ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²)√(x₂² + y₂²)) |
四、向量的几何应用
| 应用类型 | 公式或方法 | ||
| 向量共线 | 若a = kb，则 a 与 b 共线 | ||
| 向量垂直 | 若a · b = 0，则 a ⊥ b | ||
| 向量投影 | 向量 a 在 b 上的投影为 (a · b) / | b | |
| 中点公式 | 若 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则中点 M 的坐标为 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | ||
| 分点公式 | 设点 P 分 AB 成 m:n，则 P 坐标为 ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n)) |
五、向量与三角函数结合
| 公式 | 说明 | ||||
| 向量夹角公式 | cosθ = (a · b) / ( | a | b | ) | |
| 正弦定理 | 在三角形中，a/sinA = b/sinB = c/sinC | ||||
| 余弦定理 | c² = a² + b² - 2ab cosC |
六、常见误区提醒
1. 向量不是标量：不能直接比较大小，只能比较方向和模长。
2. 点积结果是标量，不是向量。
3. 叉积在二维中通常不使用，除非扩展到三维空间。
4. 注意单位向量的方向性，避免混淆正负号。
通过以上公式的整理与归纳，可以更清晰地掌握平面向量的核心知识。建议在学习过程中多做练习题，熟练运用这些公式，提升解题能力和思维逻辑。
