在数学领域中，算术平方根是一个基础且重要的概念，其定义及性质可以用严谨的数学语言进行表述。

定义

设 \( x \) 是一个非负实数，则存在唯一一个非负实数 \( y \)，使得 \( y^2 = x \)。此时，称 \( y \) 为 \( x \) 的算术平方根，记作 \( \sqrt{x} \)。

从上述定义可以看出：

- \( x \geq 0 \)，即被开方数必须是非负数；

- \( y \geq 0 \)，确保算术平方根具有唯一性。

性质

以下列出算术平方根的主要性质，并以数学语言形式表达：

1. 非负性

若 \( x \geq 0 \)，则 \( \sqrt{x} \geq 0 \)。

2. 平方逆运算关系

对于任意非负实数 \( x \)，有 \( (\sqrt{x})^2 = x \)。

3. 乘法性质

对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，有

\[

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.

\]

4. 除法性质

对于任意非负实数 \( a \) 和正实数 \( b \)，有

\[

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

\]

5. 幂次扩展

对于任意非负实数 \( x \) 和整数 \( n > 0 \)，有

\[

\sqrt[n]{x^n} = |x|, \quad \text{当 } n \text{ 为偶数时}.

\]

6. 单调性

算术平方根函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 在区间 \( [0, +\infty) \) 上是严格递增的，即若 \( x_1 < x_2 \)，则 \( \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \)。

这些性质不仅揭示了算术平方根的本质特征，也为解决实际问题提供了理论依据。例如，在几何学中，计算边长或面积时经常需要使用算术平方根；而在代数中，它也是多项式方程求解的重要工具之一。

通过以上分析可见，算术平方根不仅是数学中的基本概念，更是构建更复杂数学体系的基础。深入理解其定义与性质有助于我们更好地掌握相关知识并应用于实际场景之中。